题目内容
【题目】如图，数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧．BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究：先从特殊问题开始研究：当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′，然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究，画出当α＝90°，β＝30°时相应的图形；
（2）请结合小聪研究，求出当α＝90°，β＝30°时∠ADB的图形；
（3）请结合小聪研究，请解决数学老师布置的这道作业题.
【答案】（1）见解析；（2）∠ADB＝30°；（3）∠ADB＝150°
【解析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）作辅助线构建全等三角形，证明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B＝
∠BD′C＝30°，则∠ADB＝∠AD′B＝30°；
（3）分两种情况进行讨论：第一种情况：当60°＜α≤120°时，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度数，从而得∠ABD′和∠D′BC的度数，得到△BD′C是等边三角形，根据（1）同理得出∠ADB＝∠AD′B＝30°；第二种情况：当0°＜α＜60°时，仍然按此过程求出∠ADB＝∠AD′B＝150°．
（1）如图1，
（2）如图2，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，
∵AB＝AB，∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
∵AB＝AC，AD'＝AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°，
（3）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，
如图2，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC＝
＝90°﹣
，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣﹣β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣＝180°﹣（α+β），
∵α+β＝120°，
∴∠D′BC＝60°，
以下同（1）可求得∠ADB＝30°，
第二种情况：当0°＜α＜60°时，
如图3，
作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝，
∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝
，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′═，
，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，
∴∠ADB＝∠AD′B＝150°．
