Question

如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为M．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）．

Answer 1

分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°．根据垂径定理得OD垂直平分BC，所以DB=DC．从而△OBD≌△OCD，得∠OCD=∠OBD=90°；
（2）阴影面积=S_扇形OBC-S_△OBC．根据切线长定理知△BCD为等边三角形，可求∠BOC的度数，运用相关公式计算．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OD⊥BC，O为圆心，
∴OD平分BC．
∴DB=DC，
在△OBD与△OCD中，

OB=OC DO=DO DB=DC

∴△OBD≌△OCD．（SSS）
∴∠OCD=∠OBD．
又∵AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵DB、DC为切线，B、C为切点，
∴DB=DC．
又DB=BC=6，
∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，
∠OBM=90°-60°=30°，BM=3．
∴OM=BM•tan30°=

3

，OB=2OM=2

3

．
∴S_阴影部分=S_扇形OBC-S_△OBC
=

120×π×(2 3 ) 2

360

-

1

2

×6×

3

=4π-3

3

（cm²）．

点评：此题考查了切线的判定及性质、切线长定理、有关图形的面积计算等知识点，难度中等．