题目内容
【题目】已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连结MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.
(1)直接写出点D的坐标;
(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连结OP.
①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似,试求出点P的坐标;
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得的值最大.若存在,求出T点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)① ,;②
【解析】
试题分析:(1)根据矩形及平移的性质即可得到结果;
(2)①由,可得点B的坐标,根据抛物线经过原点可设,再根据抛物线经过点与点可求得抛物线的解析式,则可设点再分∽与∽两种情况,根据相似三角形的性质即可求得结果;
②先求得抛物线的对称轴为直线,根据抛物线的对称性可得,则要使得的值最大,即是使得的值最大,根据三角形的三边关系可得当、、三点在同一直线上时,的值最大,根据待定系数法求得直线的解析式,即可求得结果.
(1);
(2)① ∵,
∴
∵抛物线经过原点
∴设抛物线的解析式为
又抛物线经过点与点
∴,解得:
∴抛物线的解析式为
∵点在抛物线上
∴设点
1)若∽,则,
解得(舍去),,
∴点.
2)若∽,则,,
解得(舍去),,
∴点
②存在点,使得的值最大.
抛物线的对称轴为直线,设抛物线与轴的另一个交点为,则点.
∵点、点关于直线对称,
∴
要使得的值最大,即是使得的值最大,
根据三角形两边之差小于第三边可知,当、、三点在同一直线上时,的值最大.设过、两点的直线解析式为,
∴ 解得:
∴直线的解析式为.
当时,.
∴存在一点使得最大.
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