题目内容

【题目】(本题8分)已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2+(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5

(1) 求证:AB≠AC

(2) 如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形,求k的值

(3) 填空:当k=________时,△ABC是等腰三角形,△ABC的周长为________

【答案】(1)证明见解析(2) k=-5(3) 14或16

【解析】试题分析:(1)通过根的判别式知道方程的两根情况为不相等的两实数根,可证明;

(2)依题意由勾股定理得k的值;

(3)由BC为腰,代入方程可求出k的值.

试题解析:(1) ∵△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1>0

∴方程有两个不相等的实数根

∴AB≠AC

(2)依题意得,AB2+AC2=BC2=25

∵AB+AC=-(2k+3),AB·AC=k2+3k+2

∴AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB·AC=2k2+6k+5=25

解得k1=-5或k2=2

∵AB+AC=-(2k+3)>0

∴k<

∴k=-5

(3) 依题意得,BC为等腰三角形的腰

将x=5代入方程中,得25+5(2k+3)+k2+3k+2=0

解得k1=-6,k2=-7

此时周长为14或16

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