题目内容

如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于A和B,过A作AC⊥x轴于点C,tan∠AOC=
1
2
,AB与y轴交于点D,连接CD,S△ACD=4,点B的横坐标为
2
3

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABO的面积.
分析:(1)根据S△AOC=S△ACD=4,得出OC=2AC,进而求出AC=2,从而有OC=4,进而得出A点坐标,求出k的值,再利用点A、B的坐标求出一次函数解析式;
(2)利用在y=-3x-10中,令x=0,得y=-10,点D的坐标为(0,-10),进而求出△ABO的面积.
解答:解:(1)设一次函数解析式为y=mx+n,反比例函数的解析式为y=
k
x

由图知S△AOC=S△ACD=4,
1
2
•OC•AC=4
,又tan∠AOC=
1
2

AC
OC
=
1
2
,即OC=2AC,
1
2
•2AC•AC=4
,解得AC=2,从而有OC=4,
点A的坐标为(-4,2),
代入y=
k
x
2=
k
-4
,∴k=-8,
∴反比例函数的解析式为y=-
8
x

∵点B的横坐标为
2
3
,将它代入y=-
8
x
得y=-12,
∴点B的坐标为:(
2
3
,-12),
将点A、B的坐标分别代入得
-4m+n=2
2
3
m+n=-12

解得
m=-3
n=-10

∴一次函数解析式y=-3x-10;

(2)在y=-3x-10中,令x=0,得y=-10,
∴点D的坐标为(0,-10),
∴OD=10,
S△AOB=S△AOD+S△BOD=
1
2
•OD•|xA|+
1
2
•OD•|xB|
=
1
2
×10×4+
1
2
×10×
2
3
=
70
3
点评:此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用,根据已知结合图象得出图象上点的坐标是解题关键.
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