Question

已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（

3

，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠ACO的度数；
（3）求直线OC的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了圆的半径就知道了AB的长，已知了A的坐标，就知道了OA的长，根据勾股定理就能求出OB的长，因此B点的坐标就求出来了；
（2）可通过构建三角形来求解．连接OM，则MO⊥OC，三角形MOC和AOB中，已知了一组直角，在（1）中我们求得OB=OM=1，因此∠OMB=∠OBM，因此两三角形全等，那么∠OAC=∠OCA，在（1）中求出了OB的值，有AB的值，那么∠OAC的度数就不难求出了，也就求出了∠OCA的度数；
（3）关键是求出C的坐标，可通过构建三角形来求解．由（2）得出的全等三角形我们知道：OC=OA=

3

，∠OAC=∠OCA=30°，因此∠COD=60°，因此可求出CD，OD的长，也就求出了C的坐标，可用待定系数法求出正比例函数的函数式．

解答：解：（1）AB=2，OA=

3

OB=

22-( 3 )2

=1，
点B的坐标（0，1）；

（2）连接OM，
由（1）得：OB=1=OM，∠OBA=∠OMB，
又∵∠MOC=∠AOB=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△COM，
∵OB=1，AB=2，
∴∠BAO=30°，
∴∠ACO=∠BAO=30°；

（3）由（2）知：OC=OA=

3

，∠OAC=∠OCA=30°，
过C作CD⊥OA交x轴于D，
那么在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴OD=

3

2

，CD=

3

2

，
∴C点的坐标应是（-

3

2

，

3

2

），
设OC所在的直线为y=kx，
-

3

2

k=

3

2

，
k=-

3

，
∴函数的解析式为：y=-

3

x．

点评：本题的解题关键是通过直角三角形求出线段的长进而得出点的坐标．