Question

操作示例

对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按如图甲所示的方式摆放，再沿虚线BD、EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图甲中的四边形BNED．

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S_{正方形ABCD}＋S_{正方形EFGH}＝S_{正方形BNED}．

实践与探究

(1)对于边长分别为a、b(a＞b)的两个正方形ABCD和EFGH，按如图乙所示的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．

①证明：四边形MNED是正方形，并用含a、b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图乙中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED．请简略说明你的拼接方法(类比图甲，用数字表示对应的图形)．

(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

[探究过程]本题实质是一个两个图形合二为一的问题，其包含着一个等量关系，其总面积等于原来两个面积和．则拼成后正方形的边长为，根据勾股定理去寻找边长． 　　解答：(1)①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．在Rt△ADM与Rt△CDE中，∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°， 　　∴∠ADM＝∠CDE．∴Rt△ADM≌Rt△CDE． 　　∴DM＝DE．∴四边形MNED是正方形． 　　∵DE2＝CD2＋CE2＝a2＋b2，∴正方形MNED的面积为a2＋b2; 　　②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图，可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等．所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED． 　　(2)答：能． 　　理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，……以此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过(n－1)次拼接，得到一个正方形． 　　[探究评析]学会从特殊情况来研究，再进一步根据特殊情况研究的方法来研究一般情况是否仍具有规律性，甚至再从数量上进行深度推广，是否仍具有此性质，借此培养联想、探索研究能力．