Question

一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为

4

3

：9

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．

解答：解：设圆的半径为R，
如图1，
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=

2

2

R，
故BC=

2

R；
如图2，
连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=

1

2

R，AB=2AG=R，
∴OG=

3

2

R，
∴此正方形的面积为：

2

R×

2

R=2R²，
正六边形的面积为：6×

1

2

×R×

3

2

R=

3 3

2

R²，
∴此正方形与正六边形的面积之比为：2R²：

3 3

2

R²=4

3

：9．
故答案为：4

3

：9．

点评：本题考查的是圆内接正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．