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精英家教网精英家教网(一)如图,放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4.现做如下实验:
抛掷一枚均匀的正四面体骰子(它有四个顶点,各顶点的点数分别是1至4这四个数字中的一个),每个顶点朝上的机会是相同的,连续抛掷两次,将骰子朝上的顶点的点数作为直角坐标系中P点的坐标(第一次的点数作横坐标,第二次的点数作纵坐标).
(1)求P点落在正方形ABCD面上(含正方形内和边界,下同)的概率;
(2)将正方形ABCD平移整数个单位,则是否存在一种平移,使点P落在正方形ABCD面上的概率为
34
?若存在,指出其中的一种平移方式;若不存在,请说明理由;
(二)若将(一)中所做实验用的“正四面体骰子”改为“各面标有1至6这六个数字中的一个的正方体骰子”,其余(实验步骤、作用)均不变.将正方形ABCD平移整数个单位,试求出点P落在正方形ABCD面上的概率.
分析:(一)依题意得点P的横坐标有数字1,2,3,4四种选择,纵坐标也有数字1,2,3,4四种选择,故点P的坐标共有16种情况,有四种情况将落在正方形ABCD上,所以概率为
1
4
.要使点P落在正方形面上的概率为
3
4
,所以要将正方形移动使之符合.
(二)依题意可得如点P的横纵坐标都有数字1,2,3,4,5,6六种选择,所以构成点P的坐标共有36种情况.
解答:解:(一)(1)根据题意,点P的横坐标有数字1,2,3,4四种选择,点P的纵坐标也有数字1,2,3,4四种选择,所以构成点P的坐标共有4×4=16种情况.其中点P的(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)四种情况将落在正方形ABCD面上,故所求的概率为
4
16
=
1
4


(2)因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为
3
4
=
12
16
1
4
,所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移,且使点P落在正方形面上的数目为12.即
∴存在满足题设要求的平移方式:先将正方形ABCD上移2个单位,后右移1个单位(先右后上亦可);或先将正方形ABCD上移1个单位,后右移2个单位(先右后上亦可).

(二)点P的横、纵坐标都有数字1,2,3,4,5,6六种选择,所以构成点P的坐标共有6×6=36种情况.
(1)移动0(即不移动)时,为
4
36
=
1
9

(2)先下移1个单位,后左移0,1个单位时,为
2
36
1
36
,即
1
18
1
36

(3)先下移1个单位,后右移1,2,3个单位,为
3
36
4
36
5
36
,即
1
12
1
9
5
36

(4)先左移1个单位,后下移0.1个单位时,为
2
36
1
36
,即
1
18
1
36

(5)先左移1个单位,后上移1,2,3个单位时,为
3
36
4
36
5
36
,即
1
12
1
9
5
36

(6)上移1,2,3个单位时,为
6
36
8
36
8
36
,即
1
6
2
9
5
18

(7)右移1,2,3个单位时,为
6
36
8
36
10
36
,即
1
6
2
9
5
18

(8)先上移1个单位,后右移1,2,3个单位时,为
9
36
12
36
15
36
,即
1
4
1
3
5
12

(9)先上移2个单位,后右移1,2,3个单位时,为
12
36
16
36
20
36
,即
1
3
4
9
5
9

(10)先上移3个单位,后右移1,2,3个单位时,为
15
36
20
36
25
36
,即
5
12
5
9
25
36

(11)正方形下移或左移超过1个单位时,点P落在正方形ABCD面上的概率为0.在此点P落在正方形ABCD面上的概率(不同)为:
0,
1
36
1
18
1
12
1
9
5
36
1
6
1
9
1
4
5
18
1
3
5
12
4
9
5
9
25
36
点评:本题综合考查了平移的性质,几何概率的知识以及正方形的性质.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
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