Question

（一）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做如下实验：
抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中的一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点的点数作为直角坐标系中P点的坐标（第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内和边界，下同）的概率；
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为

3

4

？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由；
（二）若将（一）中所做实验用的“正四面体骰子”改为“各面标有1至6这六个数字中的一个的正方体骰子”，其余（实验步骤、作用）均不变．将正方形ABCD平移整数个单位，试求出点P落在正方形ABCD面上的概率．

Answer 1

分析：（一）依题意得点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，故点P的坐标共有16种情况，有四种情况将落在正方形ABCD上，所以概率为

1

4

．要使点P落在正方形面上的概率为

3

4

，所以要将正方形移动使之符合．
（二）依题意可得如点P的横纵坐标都有数字1，2，3，4，5，6六种选择，所以构成点P的坐标共有36种情况．

解答：解：（一）（1）根据题意，点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，点P的纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，所以构成点P的坐标共有4×4=16种情况．其中点P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种情况将落在正方形ABCD面上，故所求的概率为

4

16

=

1

4

．

（2）因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为

3

4

=

12

16

＞

1

4

，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．即
∴存在满足题设要求的平移方式：先将正方形ABCD上移2个单位，后右移1个单位（先右后上亦可）；或先将正方形ABCD上移1个单位，后右移2个单位（先右后上亦可）．

（二）点P的横、纵坐标都有数字1，2，3，4，5，6六种选择，所以构成点P的坐标共有6×6=36种情况．
（1）移动0（即不移动）时，为

4

36

=

1

9

．
（2）先下移1个单位，后左移0，1个单位时，为

2

36

，

1

36

，即

1

18

，

1

36

．
（3）先下移1个单位，后右移1，2，3个单位，为

3

36

，

4

36

，

5

36

，即

1

12

，

1

9

，

5

36

．
（4）先左移1个单位，后下移0.1个单位时，为

2

36

，

1

36

，即

1

18

，

1

36

．
（5）先左移1个单位，后上移1，2，3个单位时，为

3

36

，

4

36

，

5

36

，即

1

12

，

1

9

，

5

36

．
（6）上移1，2，3个单位时，为

6

36

，

8

36

，

8

36

，即

1

6

，

2

9

，

5

18

．
（7）右移1，2，3个单位时，为

6

36

，

8

36

，

10

36

，即

1

6

，

2

9

，

5

18

．
（8）先上移1个单位，后右移1，2，3个单位时，为

9

36

，

12

36

，

15

36

，即

1

4

，

1

3

，

5

12

．
（9）先上移2个单位，后右移1，2，3个单位时，为

12

36

，

16

36

，

20

36

，即

1

3

，

4

9

，

5

9

．
（10）先上移3个单位，后右移1，2，3个单位时，为

15

36

，

20

36

，

25

36

，即

5

12

，

5

9

，

25

36

．
（11）正方形下移或左移超过1个单位时，点P落在正方形ABCD面上的概率为0．在此点P落在正方形ABCD面上的概率（不同）为：
0，

1

36

，

1

18

，

1

12

，

1

9

，

5

36

，

1

6

，

1

9

，

1

4

，

5

18

，

1

3

，

5

12

，

4

9

，

5

9

，

25

36

．

点评：本题综合考查了平移的性质，几何概率的知识以及正方形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．