题目内容

如图，将直角梯形ABCD置于直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，点D和坐标原点O重合．已知：BC∥AD，BC=2，AD=AB=5，M（7，1），点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度水平向左平移，同时点Q从点A沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出点Q和点P的坐标（用t的代数式表示）．
（2）以点P为圆心，t个单位长度为半径画圆．
①当⊙P与直线AB第一次相切时，求出点P坐标，并判断此时⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．
②设⊙P与直线MP交于E、F（E左F右）两点，当△QEF为直角三角形时，求t的值．

解：（1）点P（7-2t，1），Q（5- $\text{[math]}$ t， $\text{[math]}$ t）；

（2）①当⊙P与直线AB第一次相切时，则点P到直线AB的距离 $\text{[math]}$ （7-2t-5+ $\text{[math]}$ t）=t，
解得t= $\text{[math]}$ ，
则点P（ $\text{[math]}$ ，1），
此时⊙P与x轴相离；

②根据题意，得E（7-3t，1），F（7-t，1）．
要使△QEF为直角三角形，
①若EF是斜边：
根据勾股定理，得（2- $\text{[math]}$ t）²+2（1- $\text{[math]}$ t）²+（2- $\text{[math]}$ t）²=4t²，
解得t= $\text{[math]}$ ．
②若QE是斜边：（ $\text{[math]}$ -4）²+4t²=（ $\text{[math]}$ t-4）²，解得t= $\text{[math]}$ ；
③若QF是斜边：4t²+（ $\text{[math]}$ -4）²=（ $\text{[math]}$ -4）²，解得t=5．
分析：（1）点P的纵坐标是1，横坐标即为点M的横坐标减去运动的路程；点Q的坐标运用解直角三角形的知识求解；
（2）①根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径可以求得t的值，再进一步判断此时⊙P与x轴的位置关系；
②分别表示点E和点F的坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可．
点评：此题综合运用了直角梯形的性质、解直角三角形的知识、直线和圆的位置关系与数量之间的联系等，综合性较强．