题目内容
（2010•南宁）如图，把抛物线y=-x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1，l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．
（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED？如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到l1的解析式；
由于l1、l2关于y轴对称，那它们的顶点坐标关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出l2的解析式；
（2）根据轴对称的性质，很明显的可以看出四边形PQCD是等腰梯形；若P为l1的对称轴与抛物线l2的交点时，PQ=CD，此时四边形PQCD是矩形；
（3）根据抛物线l1的解析式，可求出A、D、E的坐标，进而可求得梯形AOED的面积，即可得到△ABM的面积，由于AB是定长，那么根据△ABM的面积即可求出M点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线l1的解析式中，即可求得M点的坐标．
解答：
解：（1）l1：y=-（x-1）2+1（或y=-x2+2x），（1分）
l2：y=-（x+1）2+1（或y=-x2-2x）；（2分）
（2）以P，Q，C，D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，（3分）
理由：∵点C与点D，点P与点Q关于y轴对称，
∴CD∥PQ∥x轴．
①当P点是l2的对称轴与l1的交点时，点P，Q的坐标分别为（-1，-3）和（1，-3），而点C，D的坐标分别为（-1，1）和（1，1），
所以，CD=PQ，CP⊥CD，四边形CPQD是矩形；（4分）
②当P点不是l2的对称轴与l1的交点时，根据轴对称性质，
有：CP=DQ（或CQ=DPS），但CD≠PQ，
∴四边形CPQD（四边形CQPD）是等腰梯形．（5分）
（3）存在，设满足条件的M点坐标为（x，y），连接MA，MB，AD，依题意得：
A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
，（6分）
①当y＞0时，
，（7分）
将y=
，
∴
，（8分）
②当y＜0时，
，（9分）
，
∴
． （10分）
点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、等腰梯形及矩形的判定、图形面积的求法等知识的综合应用能力．
由于l1、l2关于y轴对称，那它们的顶点坐标关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出l2的解析式；
（2）根据轴对称的性质，很明显的可以看出四边形PQCD是等腰梯形；若P为l1的对称轴与抛物线l2的交点时，PQ=CD，此时四边形PQCD是矩形；
（3）根据抛物线l1的解析式，可求出A、D、E的坐标，进而可求得梯形AOED的面积，即可得到△ABM的面积，由于AB是定长，那么根据△ABM的面积即可求出M点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线l1的解析式中，即可求得M点的坐标．
解答：
解：（1）l1：y=-（x-1）2+1（或y=-x2+2x），（1分）l2：y=-（x+1）2+1（或y=-x2-2x）；（2分）
（2）以P，Q，C，D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，（3分）
理由：∵点C与点D，点P与点Q关于y轴对称，
∴CD∥PQ∥x轴．
①当P点是l2的对称轴与l1的交点时，点P，Q的坐标分别为（-1，-3）和（1，-3），而点C，D的坐标分别为（-1，1）和（1，1），
所以，CD=PQ，CP⊥CD，四边形CPQD是矩形；（4分）
②当P点不是l2的对称轴与l1的交点时，根据轴对称性质，
有：CP=DQ（或CQ=DPS），但CD≠PQ，∴四边形CPQD（四边形CQPD）是等腰梯形．（5分）
（3）存在，设满足条件的M点坐标为（x，y），连接MA，MB，AD，依题意得：
A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
，（6分）①当y＞0时，
，（7分）将y=
，∴
，（8分）②当y＜0时，
，（9分），∴
． （10分）点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、等腰梯形及矩形的判定、图形面积的求法等知识的综合应用能力．
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