Question

已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，
求证：AB²=BG•BC．

Answer 1

解：连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠D+∠DAF=90°，
∴∠BAG=∠D，
∵∠C=∠D，
∴∠C=∠BAG，
∵∠ABG=∠ABC，
∴△ABG∽△CBA，
∴AB：CB=BG：AB，
∴AB²=BG•BC．
分析：因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB²=BG•BC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与圆的性质．解此题的关键是掌握辅助线的作法，在圆中，构造直径所对的角是直角是常见辅助线，同学们应注意掌握．