题目内容

(2010•红桥区一模)已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D.
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E′FG.设P(x,0),△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

【答案】分析:(1)根据抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),于是可设出一般式,用待定系数法求出解析式,再根据解析式求出D点坐标;
(2)设出E点坐标,作出辅助直角三角形,运用等腰三角形的性质和勾股定理建立等式,求出E点坐标;
(3)由于P点为动点,故根据x的不同取值会得到不同的重叠图形.由于BC的中点横坐标为=2,抛物线与x轴的交点横坐标4,所以分-1<x≤2,2<x≤4等情况讨论.
解答:解:(1)依题意,设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,
,(1分)
解得
∴所求抛物线的解析式为.(2分)

解得x1=4,x2=-3.
∴D(4,0).(3分)

(2)如图,过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线,两线交于点M.
∴∠M=∠CNE=90度.
设E(a,0),EB=EC.
∴BM2+EM2=CN2+EN2
∴(1-a)2+(4-0)2=(2-0)2+(3-a)2
解得a=-1.
∴E(-1,0).(4分)

(3)可求得直线BC的解析式为y=-x+5.
从而直线BC与x轴的交点为H(5,0).
如图,根据轴对称性可知S△E′FG=S△EFG
当点E′在BC上时,点F是BE的中点.
∵FG∥BC,
∴△EFP∽△EBH.
可证EP=PH.
∵E(-1,0),H(5,0),
∴P(2,0).(5分)
(i)如图,分别过点B、C作BK⊥ED于K,
CJ⊥ED于J,
则S△BCE=S△BEH-S△CEH=EH•(BK-CJ)=6.
当-1<x≤2时,
∵PF∥BC,
∴△EGP∽△ECH,△EFG∽△EBC.

∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0),
∴EP=x+1,EH=6.
∴S=S△E′FG=S△EFG==x2+x+(-1<x≤2).(6分)
(ii)如图,当2<x≤4时,在x轴上截取一点Q,使得PQ=HP,过点Q作
QM∥FG,分别交EB、EC于M、N.
可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.
===
∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0),
∴EH=6,PQ=PH=5-x,EP=x+1,
EQ=6-2(5-x)=2x-4.
∴S△EMN=(7分)
同(i)可得S△EFG=
∴S=S△EFG-S△EMN=-=-x2+3x-(2<x≤4).(8分)
综上,
点评:此题不仅考查了用待定系数法求二次函数解析式,还结合等腰三角形的性质考查了运用勾股定理求线段的长,解(3)时要注意进行分类讨论.
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