题目内容
【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①;②(,4),(,8),(,)或(,).
【解析】
试题分析:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,即可求得抛物线的解析式;
(2)①先用m表示出QE的长度,进而求出三角形的面积S关于m的函数;
②直接写出满足条件的F点的坐标即可,注意不要漏写.
试题解析:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,得
,解得:,∴抛物线的解析式为;
(2)①∵OA=8,OC=6,∴AC==10,过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB=,∴,∴QE=,∴S=CPQE=m×=;
②∵S=CPQE=m×==,∴当m=5时,S取最大值;
在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,∵抛物线的解析式为的对称轴为x=,D的坐标为(3,8),Q(3,4);
当∠FDQ=90°时,F1(,8);
当∠FQD=90°时,则F2(,4);
当∠DFQ=90°时,设F(,n),则,即,解得:n=,∴F3(,),F4(,),满足条件的点F共有四个,坐标分别为
F1(,8),F2(,4),F3(,),F4(,).
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