Question

△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF，求证：DG平分∠BGC．

Answer 1

分析：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．则Rt△BFN∽Rt△DEG，Rt△CEK∽Rt△DFG，从而证得

BF

CE

=

FG

GE

，于是△BFG∽△CEG，所以∠BGD=∠CGD．即DG平分∠BGC．

解答：证明：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK，OF，OD．则：
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=

1

2

∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠GDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDG，
∵DG⊥EG，
∴∠BNF=∠DGE=90°，
∴Rt△BFN∽Rt△DEG，

BF

DE

=

FN

GE

=

FD

2GE

（2分）
同理：Rt△CEK∽Rt△DFG，

CE

DF

=

EK

FG

=

ED

2FG

（2分）
∴BF•GE=

1

2

DF•DE=CE•FG（4分）
∴

BF

CE

=

FG

GE

，而∠BFG=∠CEG（2分）
∴△BFG∽△CEG，于是∠BGF=∠CGE．
∵DG⊥EF，∴∠BGD=∠CGD．
即DG平分∠BGC．

点评：本题考查了三角形的内切圆和相似三角形的判定和性质．