Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动

（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？

（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．

Answer 1

【答案】（1）15秒；（2）5秒；（3）20秒

【解析】

（1）由点N运动路程＝点M运动路程+AB间的路程，列出方程求解，捷克得出结论；

（2）由等边三角形的性质可得AN＝AM，可列方程求解，即可得出结论；

（3）由全等三角形的性质可得CM＝BN，可列方程求解，即可得出结论．

（1）设运动t秒，M、N两点重合，

根据题意得：2t﹣t＝15，

∴t＝15，

答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合；

（2）如图1，设点M、N运动x秒后，△AMN为等边三角形，

∴AN＝AM，

由运动知，AN＝15﹣2x，AM＝x，

∴15﹣2x＝x，

解得：x＝5，

∴点M、N运动5秒后，△AMN是等边三角形；

（3）假设存在，

如图2，设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN，

∴AM＝AN，

∴∠AMN＝∠ANM，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，

∴△ACN≌△ABM（AAS），

∴CN＝BM，

∴CM＝BN，

由运动知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，

∴y﹣15＝15×3﹣2y，

∴y＝20，

故点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为20秒．