Question

（2012•龙岩质检）在平面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），
将ABOC绕点0顺时针旋转90°，得到A′B′OC′，若抛物线过点C、A、A′．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若p抛物线的对称轴上一点，使得PA′+PB′的值最小，求出点P的坐标及PA′+PB′的最小值；
（3）若点M是抛物线上的一点，问是否存在以点A、A′、C′、M为顶点的梯形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由旋转不变性可知点A'（3，0），OA'=OA=3，然后设出二次函数的交点式后用待定系数法求解即可；
（2）首先确定二次函数的对称轴，根据对称性可知点A'与点C关于对称轴对称，从而得到要使PA'+PB'的值最小，只需PC+PB'的值最小，即当点P在线段B'C上时．PA'+PB'的值最小，然后求得点P的坐标即可；
（3）分当AM∥C'A'时，得到AM≠C'A'，此时四边形ACA'M是梯形和当C'M∥AA'时，得到C'M≠AA'，此时四边形AC'MA'或AMC'A'是梯形两种情况分类讨论即可确定点M的坐标．

解答：解：（1）由旋转不变性可知点A'（3，0），OA'=OA=3
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点A（0，3）代入，则3=a（0+1）×（0-3），
解得a=-1，
故y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知，抛物线对称轴为x=-

2

2×(-1)

=1
由对称性可知点A'与点C关于对称轴对称∴要使PA'+PB'的值最小，只需PC+PB'的值最小
即当点P在线段B'C上时．PA'+PB'的值最小                   
由已知有：A'B'=AB=CO=1
则点B'（3，-1）
设直线B'C的解析式为y=kx+b，将点B'、C的坐标代入，可得k=-

1

4

，b=-

1

4

，
∴直线B'C的解析式为y=-

1

4

x-

1

4

当x=1时，y=-

1

2

，
∴P(1，-

1

2

)，此时PA'+PB'有最小值

17

；

（3）存在                                                      
①当AM∥C'A'时，由图易知，AM≠C'A'，此时四边形ACA'M是梯形
设M（m，-m²+2m+3），显然，m＞0，过M作MF⊥AO，
则FM=m，AF=3-（-m²+2m+3）=m²-2m
易知△AFM∽△C'OA'，
∴

AF

C′O

=

FM

OA′

，即

m2-2m

1

=

m

3

，
解得m₁=0，m2=

7

3

，
∵M（0，3）与点A重合，舍去．
∴M(

7

3

，

20

9

)．
②当C'M∥AA'时，易知C'M≠AA'，此时四边形AC'MA'
或AMC'A'是梯形，易得直线C'M：y=-x+1，
设M（n，-n+1），则-n+1=-n²+2n+3，解得n=

3± 17

2

，
∴M2(

3+ 17

2

，

-1- 17

2

)，M3(

3- 17

2

，

-1+ 17

2

)
综上所述，满足题意的M点有三点：M1(

7

3

，

20

9

)，M2(

3+ 17

2

，

-1- 17

2

)，M3(

3- 17

2

，

-1+ 17

2

)．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题等知识点，二次函数的最值问题及存在性问题，综合性强，有一定的难度．