Question

29、如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．
（1）说明：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．

Answer 1

分析：（1）先根据等边三角形三线合一的性质得出AE=CE，再根据等腰三角形的判定定理得出△BCE是等腰三角形，即CE=BE即可得出结论；
（2）根据线段的垂直平分线到线段两端的距离相等可得PC=PA，再由两点之间线段最短可得出当P在E处时最小，即PB+PC=AB=15cm．

解答：解：（1）等边三角形ADC中，
∵DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC，
∴AE=CE；
∴∠ACE=∠CAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=BE，
∴AE=CE=BE；

（2）∵DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴PB+PC最小，也就是PB+PA最小，也就是P、B、A在同一直线上是最小，即当P在E处时最小，
当点P在E处时，PB+PC=EB+EC=AB=15cm．

点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是熟知两点之间线段最短的知识．