题目内容
如图，已知∠XOY=90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部．（1）当顶点P在射线OY上移动到点P1时，连接AP1，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AP1交OB于点C，AB的延长线交B1P1于点D．求证：△ABC∽△AP1D；
（3）连接BB1，求∠ABB1的度数．
【答案】分析：（1）分别以A、P1为圆心，AP1长为半径画弧，两弧交于B1点，△AP1B1即为所求；
（2）欲证△ABC∽△AP1D，必须有两组角相等，∠BAC=∠P1AD为一个公共角，又因为△PAB和△P1AB1都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°，所以有∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB，因此根据边角边公式可证△OAP1≌△BAB1，因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
解答：
解：（1）如图．
图形正确（1分）痕迹正确（2分）
（2）证明：∵△PAB和△P1AB1都是正三角形，
∴∠ABC=∠AP1D=60°．（1分）
∵∠BAC=∠P1AD，
∴△ABC∽△AP1D．（2分）
（3）∵△O（P）AB和△P1AB1都是正三角形，
∴AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°．
∴∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB．
∴△OAP1≌△BAB1．（3分）
∴∠ABB1=∠AOP1=90°．（1分）
点评：此题主要考查了相似的判定以及等边三角形的一些基本性质．
（2）欲证△ABC∽△AP1D，必须有两组角相等，∠BAC=∠P1AD为一个公共角，又因为△PAB和△P1AB1都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°，所以有∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB，因此根据边角边公式可证△OAP1≌△BAB1，因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
解答：
解：（1）如图．图形正确（1分）痕迹正确（2分）
（2）证明：∵△PAB和△P1AB1都是正三角形，
∴∠ABC=∠AP1D=60°．（1分）
∵∠BAC=∠P1AD，
∴△ABC∽△AP1D．（2分）
（3）∵△O（P）AB和△P1AB1都是正三角形，
∴AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°．
∴∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB．
∴△OAP1≌△BAB1．（3分）
∴∠ABB1=∠AOP1=90°．（1分）
点评：此题主要考查了相似的判定以及等边三角形的一些基本性质．
练习册系列答案
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23、如图，已知∠XOY=90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部．
x上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（2012•崇左）如图，已知∠XOY=90°，等边三角形PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一个顶点B在∠XOY的内部．