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仔细阅读并完成下题:
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”;如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,已知“蛋圆”是由抛物线y=ax2-2ax+c的一部分和圆心为M的半圆合成的.点A、B、C分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点A的坐标为(-1,0),AB为半圆的直径,
(1)点B的坐标为(______,______);点C的坐标为(______,______
【答案】分析:(1)由新定义的“蛋圆”图形不难看出:“蛋圆”是一个轴对称图形,对称轴与抛物线相同,因此圆心M在抛物线的对称轴上,首先由抛物线的解析式确定点M的坐标,再由A、B关于点M对称求出点B的坐标,则半圆的半径可求;连接CM,在Rt△OCM中,CM是半圆的半径,OM是点M横坐标的绝对值,由勾股定理即可求得OC的长,则点C的坐标可求.
(2)首先将点A或点B的坐标代入抛物线的解析式中,求出a、c的数量关系,目标是令抛物线的解析式中只有一个待定系数a;通过观察图形不难看出:点B不可能是直角顶点,因此只考虑两种情况:点O是直角顶点、点P是直角顶点;
Ⅰ、当点P在半圆上时,若存在符合条件的点P,那么a只要大于0就符合题干的要求,需要分两种情况讨论:
①若点O为直角顶点,那么点P为半圆与y轴的交点,显然由(1)的结论可以判断出OB、OC是否为相等关系,若相等,那么点C就符合点P的要求,若不相等,那么这种情况不予考虑;
②若点P为直角顶点,那么作OB的中垂线,若存在符合条件的点P,那么点P必为中垂线与半圆的交点,可以通过勾股定理求出该点到x轴的距离,然后判断此距离是否为OB的一半即可.
Ⅱ、当点P在抛物线上时,若能求得符合条件的点P,可以代入抛物线的解析式中求出a的值;分两种情况讨论:
①若点O为直角顶点,同Ⅰ-①先求出点P的坐标,再代入抛物线的解析式中确定a的值;
②若点P为直角顶点,首先根据等腰直角三角形的性质确定点P的坐标(等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半),然后代入抛物线的解析式中求解即可.
(3)联立直线和抛物线的解析式,消去y后,令所得的一元二次方程的根的判别式为0,即可求出a的值.
解答:解:(1)由抛物线y=ax2-2ax+c知,对称轴 x=1;
∴点M的坐标为(1,0);
∵点A、B关于点M对称,且A(-1,0)、M(1,0)
∴B(3,0),半圆的半径 r=AM=BM=2;
连接CM,在Rt△OCM中,CM=r=2,OM=1,OC===,即 C(0,);
故答案:B(3,0)、C(0,),半圆M的半径为2.

(2)因为抛物线y=ax2-2ax+c经过A(-1,0),有:
a+2a+c=0,c=-3a
∴抛物线:y=ax2-2ax-3a;
Ⅰ、当点P在半圆上时;
①点P是直角顶点,如右图(图Ⅰ-①);
若△OBP是等腰直角三角形,那么点P必在OB的中垂线上,即 AD=BD=PD=
在Rt△OPD中,OP=2,OD=,则 PD==
线段PD长的前后结论矛盾,所以这种情况不成立;
②点O是直角顶点;
由(1)知:OC=<OB,因此这种情况也不成立.
Ⅱ、点P在抛物线上时;
①点P是直角顶点,如右图(图Ⅱ-①);
若△OPB是等腰直角三角形,则 OD=BD=PD=,即 P(,-);
将点P的坐标代入y=ax2-2ax-3a中,有:
a×(2-2a×-3a=-
解得:a=
②点O是直角顶点,那么点P必为抛物线与y轴的交点(如图Ⅱ-②);
若△OPB为等腰直角三角形,则 OP=OB=3,即 P(0,-3);
同①,求得:a=1.
综上,当P(0,-3)时,a=1;当P(,-)时,a=

(3)联立直线y=x-与抛物线y=ax2-2ax-3a,有:
x-=ax2-2ax-3a,
化简,得:ax2-(2a+1)x-3a+=0
∴△=(2a+1)2-4a(-3a+)=16a2-10a+1=0,
解得:a=或a=
∴满足条件的抛物线的解析式为:y=x2-x-、y=x2-x-
点评:该题给出了一个新图形的定义,但归根到底还是圆和二次函数的综合题;主要涉及的考点有:圆和抛物线的对称性、直线与抛物线交点个数的确定方法、等腰直角三角形的判定和性质等;题目的难点是第二小题,涉及的情况较多,需要分类讨论;需要注意的是,由于题干给出的是“点P在‘蛋圆’上”,因此点P在半圆上的情况也需要进行讨论.
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