题目内容
已知抛物线y=-
x2+bx+c的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,-
),若AM∥BC,求抛物线的解析式.
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6 |
3 |
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分析:利用公式法求出抛物线的顶点坐标,再令x=0,求出此时对应的y值,即C的纵坐标,设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m).再利用根与系数的关系求出AE的值,利用射影定理和切线的性质即可求出m的值,进而求出c的值,最后利用相似三角形的性质求出b的值,从而求出抛物线的解析式.
解答:解:∵抛物线y=-
x2+bx+c中,
a′=-
,b′=b,c′=c,
∴点P的横坐标为:-
=3b,纵坐标为:
=
b2+c,
∴点P的坐标为(3b,
b2+c),
令x=0,则y=c,
∴点C(0,c),
设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m).
显然,x1,x2是一元二次方程-
x2+bx+c=0的两根,
∴x1=3b-
,x2=3b+
,
又∵AB的中点E的坐标为(3b,0),
∴AE=
.
∵PA为⊙D的切线,
∴PA⊥AD,
又∵AE⊥PD,
∴由射影定理可得 AE2=PE•DE,即(
)2=(
b2+c)•|m|,又易知m<0,
∴可得m=-6,
又∵DA=DC得 DA2=DC2,即(
)2+m2=(3b-0)2+(m-c)2,
把m=-6代入后可解得c=-6(另一解c=0舍去).
又∵AM∥BC,
∴
=
,即
=
.…
把c=-6代入,解得b=
,(另一解b=-
舍去).
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x-6.
1 |
6 |
a′=-
1 |
6 |
∴点P的横坐标为:-
b′ |
2a′ |
4a′c′-b′ 2 |
4a′ |
3 |
2 |
∴点P的坐标为(3b,
3 |
2 |
令x=0,则y=c,
∴点C(0,c),
设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m).
显然,x1,x2是一元二次方程-
1 |
6 |
∴x1=3b-
9b2+6c |
9b2+6c |
又∵AB的中点E的坐标为(3b,0),
∴AE=
9b2+6c |
∵PA为⊙D的切线,
∴PA⊥AD,
又∵AE⊥PD,
∴由射影定理可得 AE2=PE•DE,即(
9b2+6c |
3 |
2 |
∴可得m=-6,
又∵DA=DC得 DA2=DC2,即(
9b2+6c |
把m=-6代入后可解得c=-6(另一解c=0舍去).
又∵AM∥BC,
∴
OA |
OB |
OM |
OC |
3b-
| ||
3b+
|
|-
| ||
|-6| |
把c=-6代入,解得b=
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2 |
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∴抛物线的解析式为y=-
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点评:本题综合性的考查了二次函数的各种性质、圆的切线的性质、平行线的性质、射影定理的运用,根与系数的关系以及相似三角形的判定和性质,题目的难度非常大.
练习册系列答案
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如图,已知抛物线l1:y=
(x-2)2-2与x轴分别交于O、A两点,将抛物线l1向上平移得到l2,过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B,如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为( )
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A、y=
| ||
B、y=
| ||
C、y=
| ||
D、y=
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