如图.一次函数y=x与反比例函数y=kx的图象交于点A.点B(3.0)是x轴正半轴上一点.S△OAB=3．(1)求A点的坐标和k的值,(2)点C是双曲线y=kx图象上一动点.过点C做x轴的平行线.与y=x的图象交于点D.是否存在以点O.B.C.D为顶点的四边形为平行四边形?若存在.请求出点C的坐标,(3)点P是x轴上一点.若能得到以点O.P.C.D为顶点的四边形为等腰梯形.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，一次函数y=x与反比例函数y=

（x＞0）的图象交于点A，点B（3，0）是x轴正半轴上一点，S_△OAB=3．
（1）求A点的坐标和k的值；
（2）点C是双曲线y=

（x＞0）图象上一动点，过点C做x轴的平行线，与y=x的图象交于点D，是否存在以点O、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点C的坐标；
（3）点P是x轴上一点，若能得到以点O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出点P横坐标的范围．

分析：（1）过点A作AH⊥OB，根据△OAB的面积可得出点A的坐标，代入函数解析式可得出k的值．
（2）设点C的坐标为（

，a），则可得点D的坐标为（a，a），分两种情况讨论，①点C、D在点A下方时，②点C、D在点A上方时，根据CD=OB可得出关于a的方程，解出即可．
（3）根据（2）求得的点C及点D坐标，结合梯形的性质即可得出点P的横坐标的范围．

解答：解：（1）过点A作AH⊥OB，

由题意得，S_△OBA=

×OB×AH=3，
∵OB=3，
∴AH=2，
∵点A在函数y=x的图象上，
∴点A为（2，2），
把点A代入y=

中，可得2=

，
解得：k=4．
即点A的坐标为（2，2），k的值为4．
（2）设点C的坐标为(

，a)，则点D的纵坐标和点C的纵坐标相同，可得D（a，a），
分两种情况：
①点C、D在点A下方时：CD=

-a，
若四边形OBCD为平行四边形，CD=OB=3，
即

-a=3，整理得：a²+3a-4=0，
解得：a₁=-4（舍），a₂=1，
即C（4，1）．
②点C、D在点A上方时：CD=a-

，
若四边形OBDC为平行四边形，CD=OB=3，
即a-

=3，整理得：a²-3a-4=0，
解得：a₁=4（舍），a₂=-1（舍），
即C（1，4）．
（3）①当点C的坐标为（4，1），点D坐标为（1，1）时，要使O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，
则点P的横坐标应大于点C的横坐标：P_横＞4；
②当点C的坐标为（1，4），点D坐标为（4，4）时，要使O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，
则点P的横坐标应大于点D的横坐标：P_横＞4；
综上可得点P的横坐标大于4．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积及梯形的知识，解答本题的关键在于求出k的值，另外要求我们掌握梯形的特点及平行四边形的性质，难度适当．