Question

已知关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0．
（1）当k取何值时，方程有两个实数根；
（2）若二次函数y=kx²-（4k+1）x+4的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（3）若（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），写出n的取值范围．

Answer 1

解：（1）△=b²-4ac=[-（4k+1）]²-4×4k≥0，
整理得，（4k-1）²≥0，
∴对于k≠0的任何实数，关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0总有两个实数根；

（2）令y=0，则kx²-（4k+1）x+4=0，
即（kx-1）（x-4）=0，
解得x₁=，x₂=4，
∵函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，k为正整数，
∴k=1，
∴二次函数解析式为y=x²-5x+4，
∵y=x²-5x+4，
=x²-5x+-+4，
=（x-）²-，
∴抛物线的顶点坐标为（，-）；

（3）由（2）得，点A（1，0），B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∵二次函数的对称轴为直线x=，
∴当x=时，y=-+4=，
∵-（-）=+=，
∴当抛物线的顶点落在△ABC的内部时，＜n＜．
分析：（1）利用根的判别式△≥0列式计算即可得解；
（2）令y=0，利用因式分解法解一元二次方程求解，再根据两交点的横坐标均为整数，k为正整数确定出k的值，从而得到二次函数的解析式，然后配方成顶点式解析式，再写出顶点坐标即可；
（3）根据二次函数解析式求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求出与对称轴的交点坐标，再根据平移的性质确定出n的取值范围即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式以及配方法，（1）要注意二次项的系数不等于0，（2）根据与x轴的交点的横坐标是整数判断出k的值是解题的关键，（3）求出直线BC与对称轴的交点是解题的关键，作出图形更形象直观．