Question

【题目】情境观察：

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形；
②线段AF与线段CE的数量关系是 ．
（2）问题探究：
如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．
求证：AE=2CD．
（3）拓展延伸：
如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC= ∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．
要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．

Answer 1

【答案】
（1）△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；AF=2CE
（2）解：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG=2CD
（3）解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，
如图3所示．

【解析】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB
②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；
故答案为：AF=2CE．
（1）①根据等腰三角形的三线合一得出BE=CE,然后利用SSS判断出△ABE≌△ACE；在Rt△ADC中∠DAC=45°，从而得出AD=DC ,根据等角的余角相等得出∠DAF=∠DCB ,从而利用ASA判断出△ADF≌△CDB ；②由全等三角形对应边相等得出AF=BC，又CE=BE,从而得出AF=2CE ；
（2）延长AB、CD交于点G，根据角平分线的定义得出∠CAD=∠GAD，根据垂直的定义得出∠ADC=∠ADG=90°，从而利用ASA判断出△ADC≌△ADG ，根据全等三角形的性质得出CD=GD，即CG=2CD ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠ABC=90° ，∠CBG=90°，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠BCG，从而利用ASA判断出△ABE≌△CBG ，从而得出AE=CG=2CD ；
（3）作DG⊥BC交CE的延长线于G，同（2）证明三角形全等，得出DF=2CE 。