题目内容

(2013•兰州)如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
分析:(1)首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA,再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°,进而算出∠AEO=60°,再证明BC∥AE,CO∥AB,进而证出四边形ABCE是平行四边形;
(2)设OG=x,由折叠可得:AG=GC=8-x,再利用三角函数可计算出AO,再利用勾股定理计算出OG的长即可.
解答:(1)证明:∵Rt△OAB中,D为OB的中点,
∴DO=DA,
∴∠DAO=∠DOA=30°,∠EOA=90°,
∴∠AEO=60°,
又∵△OBC为等边三角形,
∴∠BCO=∠AEO=60°,
∴BC∥AE,
∵∠BAO=∠COA=90°,
∴CO∥AB,
∴四边形ABCE是平行四边形;

(2)解:设OG=x,由折叠可得:AG=GC=8-x,
在Rt△ABO中,
∵∠OAB=90°,∠AOB=30°,BO=8,
∴AO=BO•cos30°=8×
3
2
=4
3

在Rt△OAG中,OG2+OA2=AG2
x2+(4
3
2=(8-x)2
解得:x=1,
∴OG=1.
点评:此题主要考查了平行四边形的判定与性质,以及勾股定理的应用,图形的翻折变换,关键是掌握平行四边形的判定定理.
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