Question

【题目】已知: AB//CD， BP 和CP分别平分∠ABC和∠DCB，点E， F分别在AB和CD

(1)如图1， EF过点P，且与AB垂直，求证: PE=PF.

(2)如图2， EF过点P，求证: PE=PF.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）过P作PM⊥BC于点M，证明△PBM≌△PBE，△PCM≌△PCF，即可得到PE=PM=PF；

（2）在BC上截取BN=BE，连接PN，证明△PBN≌△PBE，△PCN≌△PCF，即可得到PE=PN=PF.

证明：（1）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，

∵AB∥CD，EF⊥AB，∴∠PFC=90°

∵BP平分∠ABC，∴∠PBM=∠PBE，

在△PBM和△PBE中

∴△PBM≌△PBE（AAS）

∴PE=PM

同理可证△PCM≌△PCF

∴PM=PF

∴PE=PF

（2）如图所示，在BC上截取BN=BE，连接PN，

∵BP平分∠ABC，∴∠PBN=∠PBE，

在△PBN和△PBE中

∴△PBN≌△PBE（SAS）

∴PE=PN，∠PNB=∠PEB

∵AB∥CD，∴∠PEB+∠PFC=180°

又∵∠PNB+∠PNC=180°，

∴∠PNC=∠PFC

∵CP平分∠BCD，∴∠PCN=∠PCF，

在△PCN和△PCF中

∴△PCN≌△PCF（AAS）

∴PN=PF，

∴PE=PF.