题目内容

【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,动点P从点B出发,沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停止,点P′是点P关于BD的对称点,PP′交BD于点M,若BM=x,OPP′的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为(

【答案】D

【解析】

试题分析:由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA,OA=AC=3,OB=BD=4,ACBD,分两种情况:

①当BM≤4时,先证明P′BP∽△CBA,得出比例式,求出PP′,得出OPP′的面积y是关于x的二次函数,即可得出图象的情形;

②当BM≥4时,y与x之间的函数图象的形状与①中的相同;即可得出结论.

解:四边形ABCD是菱形,

AB=BC=CD=DA,OA=AC=3,OB=BD=4,ACBD

①当BM≤4时,

点P′与点P关于BD对称,

P′PBD

P′PAC

∴△P′BP∽△CBA

,即

PP′=x,

OM=4﹣x,

∴△OPP′的面积y=PP′×OM=×x(4﹣x)=﹣x2+3x;

y与x之间的函数图象是抛物线,开口向下,过(0,0)和(4,0);

②当BM≥4时,y与x之间的函数图象的形状与①中的相同,过(4,0)和(8,0);

综上所述:y与x之间的函数图象大致为

故选:D.

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