题目内容

如图，已知抛物线的顶点A在y轴上，坐标A（0，1）矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S_矩形CDEF=8
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过B作直线MN，与抛物线交于点M、N，过M、N分别向x轴作垂线MR、NQ，分别交x轴于R、Q，求证：MR=MB；
（3）在线段QR上是否存在一个点P，使得以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似？若存在．请说明理由，并找出P的位置；若不存在，也请说明理由．

分析：（1）设抛物线的顶点式形式为y=ax²+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）过点B作BT⊥MR于T，根据点M在抛物线上设点P的坐标为（a，

a²+1），然后表示出MT、BT、BM，再根据图形求出MT=MR-RT，在Rt△BTM中，利用勾股定理列式表示出MB²，从而得证；
（3）根据∠PRM=∠PQN=90°，分△PQN∽△MRP时，根据相似三角形对应角相等可得，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，再根直角三角形的性质求出∠NPM=90°，取MN的中点为W，连接WP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半表示出WP=

MN=

（NQ+MR），从而判定WP为梯形NQRM的中位线，得到点P为QR的中点△PQN∽△PRM时，根据相似三角形对应边成比例可得

，再根据

，可得点P与原点O重合．

解答：解：（1）∵矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S_矩形CDEF=8，
∴EF×DE=8，
∴DE=4，∴F点坐标为：（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+c，其过点A（0，1）和F（2，2），
所以，

c=1

4a+c=2

，
解得：

c=1

，
所以，此函数解析式为y=

x²+1；

（2）如图1，过点B作BT⊥MR于T，
∵M点在抛物线y=

x²+1上，可设点M（a，

a²+1），
∴MR=

a²+1，OB=RT=2，BT=a，
∴MT=MR-TR=

a²+1-2=

a²-1，
在Rt△BMT中，MB²=BT²+MT²=（

a²-1）²+a²=（

a²+1）²，
∴BM=

a²+1，
∵MR=

a²+1，
∴MB=MR；

（3）如图2，若以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM两种情况，
当△PQN∽△MRP时，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，
根据直角三角形两锐角互余可得，∠NPQ+∠RPM=90°，