Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

（1）填空：点B的坐标为；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证： = ；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（2 ，2）
（2）

解：存在．理由如下：

连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．

∵∠BDE=∠BCE=90°，

∴KD=KB=KE=KC，

∴B、D、E、C四点共圆，

∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，

∵tan∠ACO= = ，

∴∠ACO=30°，∠ACB=60°

①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，

∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，

∴∠DBC=∠BCD=60°，

∴△DBC是等边三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，

∴AC=2AO=4，

∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．

∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．

②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，

∴∠ABD=∠ADB=75°，

∴AB=AD=2 ，

综上所述，满足条件的AD的值为2或2

（3）

解：①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，

∴∠DBC=∠DCE=30°，

∴tan∠DBE= ，

∴ = ．

②如图2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，

∴DH= AD= x，AH= = x，

∴BH=2 ﹣ x，

在Rt△BDH中，BD= = ，

∴DE= BD= ，

∴矩形BDEF的面积为y= [ ]2= （x2﹣6x+12），

即y= x2﹣2 x+4 ，

∴y= （x﹣3）2+ ，

∵ ＞0，

∴x=3时，y有最小值 ．

【解析】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC=OA=2，OC=AB=2 ，∠BCO=∠BAO=90°，
∴B（2 ，2）．
所以答案是（2 ，2）．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．