题目内容
如图1,直线y=x与双曲线y=
(k>0,x>0)交于点P,PA⊥x轴于A,S△PAO=
.
(1)求k的值.
(2)如图2,点E是y轴负半轴上一动点,点F是x轴正半轴上一动点,且PE⊥PF,求OF-OE的值.
(3)如图3,将点A向右平移5个单位长度得点M,问:双曲线y=
(x>0)上是否存在点Q,使S△QPO=S△MPO?若存在,求Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

k |
x |
9 |
2 |
(1)求k的值.
(2)如图2,点E是y轴负半轴上一动点,点F是x轴正半轴上一动点,且PE⊥PF,求OF-OE的值.
(3)如图3,将点A向右平移5个单位长度得点M,问:双曲线y=
k |
x |

分析:(1)由P为y=x与反比例函数的交点,得到P在y=x上,故设P(a,a),且a大于0,可得出AP=OA=a,由三角形AOP为直角三角形,且面积已知,利用三角形的面积公式列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出P的坐标,将P的坐标代入反比例函数解析式中,即可求出k的值;
(2)根据题意过P作PF垂直于PE,交x轴于点F,过P作PB垂直于y轴于点B,先由一对对顶角相等及一对直角相等,利用三角形的内角和定理得出∠BEP=∠AFP,再由一对直角相等,以及BP=OA=AP,利用AAS可得出三角形BEP与三角形AFP全等,利用全等三角形的对应边相等可得出BE=AF,由OF=OA+AF,将AF等量代换为BE,而BE=OB+OE,由OB=PA=OA=3,将OB换为OA,可得出OF-OE=2OA=6;
(3)存在点Q,使S△QPO=S△MPO,理由为:假如Q存在,在反比例函数图象上找一点Q,连接OQ,PQ,过Q作QC⊥x轴于C点,由A的坐标及平移的规律找出M的坐标,在x轴上作出M点,连接PM,三角形POM以OM为底边,AP为高,利用三角形的面积公式求出三角形POM的面积,可得出三角形QPO的面积,由Q在反比例函数图象上,设出Q的坐标为Q(m,
)(m>0),可表示出QC与OC,而三角形QOP的面积=三角形AOP的面积+直角梯形APQC的面积-三角形OQC的面积,而三角形AOP的面积与三角形QOC的面积相等,故三角形QOP的面积=直角梯形APQC的面积,利用梯形的面积公式列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可确定出Q的坐标.
(2)根据题意过P作PF垂直于PE,交x轴于点F,过P作PB垂直于y轴于点B,先由一对对顶角相等及一对直角相等,利用三角形的内角和定理得出∠BEP=∠AFP,再由一对直角相等,以及BP=OA=AP,利用AAS可得出三角形BEP与三角形AFP全等,利用全等三角形的对应边相等可得出BE=AF,由OF=OA+AF,将AF等量代换为BE,而BE=OB+OE,由OB=PA=OA=3,将OB换为OA,可得出OF-OE=2OA=6;
(3)存在点Q,使S△QPO=S△MPO,理由为:假如Q存在,在反比例函数图象上找一点Q,连接OQ,PQ,过Q作QC⊥x轴于C点,由A的坐标及平移的规律找出M的坐标,在x轴上作出M点,连接PM,三角形POM以OM为底边,AP为高,利用三角形的面积公式求出三角形POM的面积,可得出三角形QPO的面积,由Q在反比例函数图象上,设出Q的坐标为Q(m,
9 |
m |
解答:解:(1)由点P为y=x与反比例函数y=
的交点,设P(a,a)(a>0),
可得出PA=OA=a,又S△PAO=
,
∴
OA•PA=
a2=
,
解得:a=3或a=-3(舍去),
∴P(3,3),
将x=3,y=3代入反比例函数解析式得:3=
,
则k=3×3=9;
(2)过P作PF⊥PE,交x轴于点F,过P作PB⊥y轴于点B,
∵∠ODE=∠PDF,∠EOD=∠EPF=90°,
∴∠BEP=∠AFP,
又BP=OA,PA=OA=3,
∴BP=AP,
在△BEP和△AFP中,
,
∴△BEP≌△AFP(AAS),
∴BE=AF,又OA=PA=OB=3,
则OF-OE=OA+AF-OE=OA+BE-OE=OA+BO+OE-OE=OA+OB=2OA=6;
(3)存在点Q,使S△QPO=S△MPO,理由为:
假如Q存在,在反比例函数图象上找一点Q,连接OQ,PQ,过Q作QC⊥x轴于C点,
将A点沿x轴向右平移5个单位,得到M(8,0),连接PM,
∴OM=8,又PA=3,
∴S△MPO=
OM•PA=12,
又S△QPO=S△MPO,
∴S△QPO=12,
设Q(m,
)(m>0),则有OC=m,QC=
,
又PA=OA=3,故AC=|m-3|,
∴S△QPO=S△PAO+S梯形APQC-S△QCO=
+
(
+3)|m-3|-
=12,
整理得:(m-9)(m+1)=0或者(m+9)(m-1)=0,
解得:m=9或m=-1(舍去),或者m=1或m=-9(舍去),
∴Q(9,1)或(1,9).
则存在点Q,使S△QPO=S△MPO,此时Q点的坐标为(9,1)或(1,9).
k |
x |
可得出PA=OA=a,又S△PAO=
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∴
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1 |
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解得:a=3或a=-3(舍去),
∴P(3,3),
将x=3,y=3代入反比例函数解析式得:3=
k |
3 |
则k=3×3=9;
(2)过P作PF⊥PE,交x轴于点F,过P作PB⊥y轴于点B,
∵∠ODE=∠PDF,∠EOD=∠EPF=90°,
∴∠BEP=∠AFP,
又BP=OA,PA=OA=3,
∴BP=AP,

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∴△BEP≌△AFP(AAS),
∴BE=AF,又OA=PA=OB=3,
则OF-OE=OA+AF-OE=OA+BE-OE=OA+BO+OE-OE=OA+OB=2OA=6;
(3)存在点Q,使S△QPO=S△MPO,理由为:
假如Q存在,在反比例函数图象上找一点Q,连接OQ,PQ,过Q作QC⊥x轴于C点,
将A点沿x轴向右平移5个单位,得到M(8,0),连接PM,
∴OM=8,又PA=3,
∴S△MPO=
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又S△QPO=S△MPO,
∴S△QPO=12,
设Q(m,
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又PA=OA=3,故AC=|m-3|,
∴S△QPO=S△PAO+S梯形APQC-S△QCO=
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整理得:(m-9)(m+1)=0或者(m+9)(m-1)=0,
解得:m=9或m=-1(舍去),或者m=1或m=-9(舍去),
∴Q(9,1)或(1,9).
则存在点Q,使S△QPO=S△MPO,此时Q点的坐标为(9,1)或(1,9).
点评:此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,待定系数法求函数解析式,反比例函数解析式中k的意义,坐标与图形性质,利用了转化及等量代换的思想,根据题意做出相应的图形是本题的突破点.

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