Question

【题目】如图在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交AB于点E．

（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段CE的长；

（2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析．

【解析】

（1）由直角三角形的性质可求BH＝2，EH＝2，由等腰直角三角形的性质可得EH＝CH＝2，即可求EC的长；、

（2）过点A作AM⊥BC，由平行线分线段成比例可得CD＝2CN，AN＝BD，由“SAS”可证△ACN≌△CFB，可得结论．

解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，

∴∠BEH＝30°，

∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，

∴BH＝2，EH＝2，

∵∠CBD＝90°，BD＝BC，

∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，

∴∠BCD＝∠BEC＝45°，

∴EH＝CH＝2，

∴CE＝EH＝2；

（2）如图，过点A作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝MC＝BC＝DB，

∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，

∴∠DCB＝∠MNC＝45°，

∴MN＝MC＝BD，

∵AM∥DB，

∴，，

∴CD＝2CN，AN＝BD，

∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，

∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，

∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，

∴△ACN≌△CFB（SAS）

∴BF＝CN，

∴CD＝2BF