题目内容
如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.
(1)求图1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比;
(2)求图2中,重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案);
(3)根据前面探索和图3,你能否将本题推广到一般的正n边形情况,(n为大于2的偶数)若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.
(1)求图1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比;
(2)求图2中,重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案);
(3)根据前面探索和图3,你能否将本题推广到一般的正n边形情况,(n为大于2的偶数)若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.
(1)方法一:
连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足为M.
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心,
∴OA=OB.
∵正方形ABCD,
∴OM=
AB,
∴S△ABO=
S正方形ABCD.(1分)
∵∠AOB=90°,
∴∠OAF=∠OBE=45度.(2分)
又∵∠A'OC'=90°,∠AOF+∠A'OB=∠A'OB+∠BOE=90°,
∴∠AOF=∠BOE.
∴△AOF≌△BOE.(3分)
∴S△AOF=S△BOE.
∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=
S正方形ABCD.
∴S阴影=
S正方形ABCD.
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3.(4分)
方法二:过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB,ON⊥BC,垂足分别为M,N.
∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∴OM=ON=
AB.(1分)
∵∠ABC=90°,
∴四边形MBNO为矩形.
∵OM=ON,
∴四边形MBNO为正方形.
∴S正方形MBNO=
S正方形ABCD.(2分)
∵∠FOE=90°,
∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度.
∴∠FOM=∠EON.
∴△FOM≌△EON.(3分)
∴S△FOM=S△EON.
∴重叠部分面积=S△FOM+S四边形MBEO=S四边形MBEO+S△EON=S正方形MBNO=
S正方形ABCD.
∴S阴影=
S正方形ABCD.
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3.(4分)
(2)1:2;(5分)
(3)n边形的每一个内角度数=
,阴影部分对应的中心角=360°-
=
,
两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=
:
=(n-2):(n+2).
但当边数超过六以后,正多边形的边长小于半径,因而结论不适合推广.(7分)
连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足为M.
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心,
∴OA=OB.
∵正方形ABCD,
∴OM=
1 |
2 |
∴S△ABO=
1 |
4 |
∵∠AOB=90°,
∴∠OAF=∠OBE=45度.(2分)
又∵∠A'OC'=90°,∠AOF+∠A'OB=∠A'OB+∠BOE=90°,
∴∠AOF=∠BOE.
∴△AOF≌△BOE.(3分)
∴S△AOF=S△BOE.
∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=
1 |
4 |
∴S阴影=
3 |
4 |
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3.(4分)
方法二:过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB,ON⊥BC,垂足分别为M,N.
∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∴OM=ON=
1 |
2 |
∵∠ABC=90°,
∴四边形MBNO为矩形.
∵OM=ON,
∴四边形MBNO为正方形.
∴S正方形MBNO=
1 |
4 |
∵∠FOE=90°,
∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度.
∴∠FOM=∠EON.
∴△FOM≌△EON.(3分)
∴S△FOM=S△EON.
∴重叠部分面积=S△FOM+S四边形MBEO=S四边形MBEO+S△EON=S正方形MBNO=
1 |
4 |
∴S阴影=
3 |
4 |
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3.(4分)
(2)1:2;(5分)
(3)n边形的每一个内角度数=
(n-2)180 |
n |
(n-2)180 |
n |
(n+2)180 |
n |
两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=
(n-2)180 |
n |
(n+2)180 |
n |
但当边数超过六以后,正多边形的边长小于半径,因而结论不适合推广.(7分)
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