Question

如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC²=PA•PB；②PC•OC=OP•CD；③OA²=OD•OP；④OA（CP-CD）=AP•CD，正确的结论有_____个．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①证明△PBC∽△PCA，即可得到结论，这实际上是圆的切割线定理，正确；
②根据切线的性质定理，得OC⊥PC，再根据直角三角形的面积公式即可证明结论，正确；
③根据直角三角形的射影定理，得OC²=OD•OP，再根据OA=OC，即可证明结论，正确；
④根据△APC的面积分析，显然错误．
解答：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴PC²=PA•PB
②∵OC⊥PC，
∴PC•OC=OP•CD
③∵CD⊥AB，OC⊥PC，
∴OC²=OD•OP，
∵OA=OC
∴OA²=OD•OP
④∵AP•CD=•OC•CP+OA•CD，OA=OC
∴OA（CP-CD）=AP•CD
所以正确的有①，②，③④，共4个．
故选D．
点评：综合运用切割线定理、射影定理、不同的角度表示同一个三角形的面积．