Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（0，1），C（2，

9

5

）．
（Ⅰ）直线l：y=kx+b过A、B两点，求k、b的值；
（Ⅱ）求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E，那么在对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵直线y=kx+b过A、B两点，
∴

-k+b=0 b=1

（1分）
解这个方程组，
得k=1，b=1．（2分）

（Ⅱ）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有：

a-b+c=0 c=1 4a+2b+c= 9 5

（3分）
解这个方程组，
得

a=- 1 5 b= 4 5 c=1

∴抛物线的解析式为y=-

1

5

x²+

4

5

x+1．（4分）

（Ⅲ）存在⊙F与直线l和x轴同时相切．
易知抛物线Q的对称轴为x=2，（5分）
①当圆心F在x轴的上方时，
设点F的坐标为（2，y₀），把x=2代入y=x+1，
得y=3．
∴抛物线Q的对称轴与直线l的交点为M（2，3）．（6分）
∴EF=y₀，ME=3，MF=ME-EF=3-y₀．（7分）
由直线l：y=x+1知，
∠NMF=45度．
∴△MNF是等腰直角三角形
∴MF=

2

NF=

2

EF
∴3-y₀=

2

y₀
∴y₀=3

2

-3
∴点F的坐标为（2，3

2

-3）．（8分）
②当圆心F在x轴的下方时，设点F的坐标为（2，y₀），则MF=3-y₀，FE=-y₀．
由△MNF为等腰直角三角形，得3-y₀=

2

y₀，（9分）
∴y₀=-3-3

2

∴点F的坐标为（2，-3-3

2

）．（10分）