题目内容
某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.而且物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,通过市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)的变化如下表:销售价x(元/千克) | 21 | 23 | 25 | 27 |
销售量w(千克) | 38 | 34 | 30 | 26 |
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式,并求出y与x所满足的函数关系式;
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
【答案】分析:(1)从表格看出,x每增加2,w就减少4,由此可确定是一次函数关系式,设w=kx+b,把(21,38),(23,34)代入求出k和b即可得到w和x的关系,因为y=(x-20)w,所以可得到y与x的函数关系式;
(2)先利用配方法将(1)的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解即可;
(3)先把y=150代入(1)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.
解答:解:(1)设w=kx+b,把(21,38),(23,34)代入得:
,
解得:
.
∴w=-2x+80,
∵y=(x-20)?w,
=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600,
∴y与x的函数关系式为:y=-2x2+120x-1600.
(2)y=-2x2+120x-1600
=-2 (x-30)2+200,
∵x≤28∴当x=28时,y有最大值192.
∴当销售价定为28元/千克时,每天可获最大销售利润192元.
(3)当y=150时,可得方程-2 (x-30 )2+200=150.
解这个方程,得 x1=25,x2=35.
根据题意,x2=35不合题意,应舍去.
∴当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.
点评:本题考查了二次函数的应用,难度适中.得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,利用配方法或公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法.
(2)先利用配方法将(1)的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解即可;
(3)先把y=150代入(1)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.
解答:解:(1)设w=kx+b,把(21,38),(23,34)代入得:

解得:

∴w=-2x+80,
∵y=(x-20)?w,
=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600,
∴y与x的函数关系式为:y=-2x2+120x-1600.
(2)y=-2x2+120x-1600
=-2 (x-30)2+200,
∵x≤28∴当x=28时,y有最大值192.
∴当销售价定为28元/千克时,每天可获最大销售利润192元.
(3)当y=150时,可得方程-2 (x-30 )2+200=150.
解这个方程,得 x1=25,x2=35.
根据题意,x2=35不合题意,应舍去.
∴当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.
点评:本题考查了二次函数的应用,难度适中.得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,利用配方法或公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法.

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