Question

设x，y，z为互不相等的非零实数，且x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

．求证：x²y²z²=1．

Answer 1

分析：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，即令x，y为互不相等的非零实数，且x+

1

y

=y+

1

x

，因为从x+

1

y

=y+

1

x

，易推出x-y=

1

x

-

1

y

，故有xy（x-y）=y-x，又因为x≠y，所以xy=

y-x

x-y

=-1，所以x²y²=1．三元与二元的结构类似．

解答：证明：由已知x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

得出：
∵x+

1

y

=y+

1

z

，
∴x-y=

1

z

-

1

y

，
x-y=

y-z

yz

，
∴yz=

y-z

x-y

，①
同理得出
zx=

z-x

y-z

，②
xy=

x-y

z-x

．③
①×②×③得x²y²z²=1．

点评：此题主要考查了分式的等式证明，由x+

1

y

=y+

1

x

得出xy=

y-x

x-y

=-1，即x²y²=1，得出三元的做法，运用这种欲进先退的解题策略探索解决这个问题比较简单．