Question

【题目】如图，一次函数的图象与坐标轴交于两点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，已知.

(1)求的值；

(2)若，求反比例函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，设点是轴(除原点外)上一点，将线段绕点按顺时针或逆时针旋转得到线段，当点滑动时，点能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点的坐标；如果不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）k2﹣k1=5；（2）；（3）点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）.

【解析】

试题分析：（1）根据点M的坐标代入反比例关系中，可得结论；

（2）根据△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k2的值；

（3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；

如图3，点P在x轴的负半轴上时；

如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．

试题解析：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，

∴M的横坐标为1，

当x=1时，y=k1+5，∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函数的图象上，∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5；

（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，

∴CM∥DN，∴△ACM∽△ADN，∴，

∵CM=1，∴DN=4，

当x=4时，y=4k1+5，∴N（4，4k1+5），∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4；

∴反比例函数的解析式；

（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；

如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，

过Q作QH⊥x轴于H，易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函数的解析式；

当x=1时，y=4，∴M（1，4），∴OC=PH=4，

设P（x，0），∴Q（x+4，x），

当点Q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±，

当x=﹣2+时，x+4=2+，如图2，Q（2+，﹣2+）；

当x=﹣2﹣时，x+4=2﹣，如图3，Q（2﹣，﹣2﹣）；

如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），

过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，∴PG=QH=4，CG=PH=x，∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2，∴Q（﹣2，﹣2），

综上所述，点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．