Question

【题目】如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；
（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①由已知得2x2=x+1，解得 或x=1，

当 时， ，当x=1时，y=2，

∴A、B两点的坐标分别为（ ， ），（ 1，2）；

②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，

由①及已知有A（ ， ），B（ 1，2），且OM=ON=1，

∴ ， ，

∴tan∠ANM=tan∠BNM，

∴∠ANM=∠BNM；

（2）

解：∠ANM=∠BNM成立，

①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，

∴∠ANM=∠BNM；

②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设 、B ．

如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，

由题意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，

∴ ，

∵ = = = ，

∴ ，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．

【解析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，设 、B ，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得 ，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．