Question

25、定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内心．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内心．
（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内心．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内心．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）

Answer 1

分析：（1）只要证得PJ=PH，PG=PI，即可得出结论；通过证明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得出交点既是准内心；根据角平分线的性质定理和梯形中位线的性质定理，可得梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点即为准内心；

解答：（1）证明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ=PH，
同理，可证△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴点P是四边形ABCD的准内心；

（2）平行四边形对角线AC、BD的交点P₁就是准内心，如图3（1）；
或者取平行四边形两对边中点连线的交点P₁就是准内心，如图3（2）；
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P₂就是准内心．如图4．

点评：本题考查了多边形的准内心，用到的知识点是角平分线、中位线的性质定理；可通过证明三角形全等来证得结论．