题目内容

附加题
(1)分式
1
2x2-x+4
的最大值为
8
31
8
31

(2)若分式
x2-4a2
x+3
的值为0,则x的值为
x=±2a,且x≠-3
x=±2a,且x≠-3

(3)关于x的方程
x-a
x-1
-
3
x
=1
无解,则a的值为
-2或1
-2或1

(4)已知
1
4
(b-c)2=(a-b)(c-a)
且a≠0,则
b+c
a
的值为
2
2
分析:(1)将分式的分母配方后,根据完全平方式的最小值为0,求出分母的最小值,即可得到原式的最大值;
(2)根据分式值为0的条件是分母不为0,分子等于0,即可得到x的值;
(3)找出分式方程的最简公分母,去分母转化为整式方程,求出x的值,由原方程无解,得到分式方程的最简公分母为0,求出分式方程最简公分母为0时x的值,令其值等于表示出的x的解即可得到a的值,再由表示出的x的值无意义可得此时a的值,综上,即可得到原方程无解时a的值;
(4)根据题意利用添项法在原式两边同时加上bc,整理后,根据a不为0,在方程两边同时除以a2后,等式可化为完全平方式等于0的形式,利用完全平方式的非负性,即可得到平方的底数为0,得出答案.
解答:解:(1)∵2x2-x+4=2(x2-
1
2
x)+4=2(x2-
1
2
x+
1
16
)+4-
1
8
=2(x-
1
4
2+
31
8

∴当x=
1
4
时,2x2-x+4有最小值,最小值为
31
8

则分式
1
2x2-x+4
的最大值为
8
31

(2)∵分式
x2-4a2
x+3
的值为0,
x+3≠0
x2-4a2=0
,解得x=±2a,且x≠-3,
则x的值为x=±2a,且x≠-3;
(3)
x-a
x-1
-
3
x
=1

方程两边同时乘以最简公分母x(x-1)得:
x(x-a)-3(x-1)=x(x-1),
x2-ax-3x+3=x2-x,
整理得:(2+a)x=3,
解得:x=
3
2+a

∵此分式方程无解,∴x=0或1,
3
2+a
无意义,即a=-2,方程无解;
3
2+a
=1,解得:a=1,方程无解,
则a=-2或1时,原方程无解;
(4)
1
4
(b-c)2=(a-b)(c-a)

两边同时加上bc得:
1
4
(b-c)2+bc=(a-b)(c-a)+bc

化简得:4a2-4a(b+c)+(b+c)2=0,
由a≠0,两边同时除以a2得:4-4
b+c
a
+
(b+c)2
a2
=0

(2-
b+c
a
)2=0

所以
b+c
a
=2.
故答案为:
8
31
;x=±2a,且x≠-3;-2或1;2
点评:此题考查了配方法的应用,分式值为0满足的条件,分式方程无解的条件,以及分式的化简求值,是一道多知识点的综合题,要求学生掌握知识要全面系统,灵活运用所学知识解决问题.本题的第4小题技巧性比较强,两边同时加上bc,然后在等式两边同时除以a2,把等式变为完全平方式等于0是解题的关键.
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