Question

如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．

Answer 1

分析：（1）已知四边形OABC是矩形，证明△CDE≌△AOE推出OE²+OA²=（AD-DE）²求出OE．
（2）本题要借助辅助线的帮助，证明△DGE≌△CDE．根据线段比求出DG，EG以及点D的坐标．列出解析式求出a，b的值．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把顶点坐标代入求出k，b．证明△AMH∽△AOC推出m的值．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）EC=8-3=5．如图，过D作DG⊥EC于G，
∴△DGE∽△CDE．
∴

DE

EC

=

DG

CD

，

DE

EC

=

EG

DE

．
∴DG=

12

5

，EG=

9

5

．
∴D（

24

5

，

12

5

)．
因O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax²+bx．
∴

64a+8b=0 ( 24 5 )2a+ 24 5 b= 12 5

解之，得

a=- 5 32 b= 5 4

y=-

5

32

x2+

5

4

x

（3）∵抛物线的对称轴为x=4，
∴其顶点坐标为(4，

5

2

)．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

8k+b=0 b=-4

解之，得

k= 1 2 b=-4

∴y=

1

2

x-4．
设直线FP交直线AC于H（m，

1

2

m-4），过H作HM⊥OA于M．
∴△AMH∽△AOC．
∴HM：OC=AH：AC．
∵S_△FAH：S_△FHC=1：3或3：1，
∴AH：HC=1：3或3：1，
∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H₁（2，-3），H₂（6，-1）．
直线FH₁的解析式为y=

11

4

x-

17

2

．
当y=-4时，x=

18

11

．
直线FH₂的解析式为y=-

7

4

x+

19

2

．
当y=-4时，x=

54

7

．
∴当t=

18

11

秒或

54

7

秒时，
直线FP把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．

点评：本题考查的是相似三角形的判定以及二次函数的综合运用．