题目内容

【题目】如图1,二次函数的图象与一次函数y=kx+bk0的图象交于A,B两点,点A的坐标为0,1,点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+bk0的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且SAMO:S四边形AONB=1:48.

1求直线AB和直线BC的解析式;

2点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD//x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PEx轴于点E,PFBC于点F,当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H不与点A,点B重合,使GH+BH的值最小,求点H的坐标和GH+BH的最小值;

3如图2,直线AB上有一点K3,4,将二次函数沿直线BC平移,平移的距离是tt0,平移后抛物线使点A,点C的对应点分别为点A,点C;当ACK是直角三角形时,求t的值。

【答案】1=x+1;=2x-5;2H5,6;7.5;3t=0或t=4或t=

【解析】

试题分析:1首先得出点C的坐标,根据AMO和四边形AONB的面积之比得出AMO和BMN的面积之比,从而得出BN=7,然后求出点B的坐标,得出直线AB和直线BC的解析式;2点Px0,x0+1,则D,x0+1,PE=x0+1,PD=3-0.5x0,根据PDF∽△BGN得出PE·PF最大时,PE·PD也最大,然后得出PE·PD的函数解析式,根据函数的性质得出点G的坐标,根据MNB是等腰直角三角形,过B作x轴的平行线,则BH=B1H,从而得出答案;3令直线BC与x轴交于点I,则I2.5,0于是IN=3.5,IN:BN=1:2,则沿直线BC平移时,横坐标平移m时,纵坐标则平移2m,平移后Am,1+2m,C2+m,-1+2m,然后根据当AKC=90°,当KCA=90°和当KAC=90°三种情况,分别利用勾股定理得出答案.

试题解析:1C2,-1. 由SAMO:S四边形AONB=1:48,可得由SAMO:SBMN=1:49,

所有BN=7,带入二次函数解析式可得B6,7 所以=x+1;=2x-5.

2设点Px0,x0+1,则D,x0+1,则PE=x0+1,PD=3-0.5x0

由于PDF∽△BGN,所以PF:PD的值固定,于是PE·PF最大时,PE·PD也最大,

PE·PD=x0+1)(3-0.5x0=,所以当x0=2.5时,PE·PD最大,即PE·PF最大。

此时G5,3.5

可得MNB是等腰直角三角形,过B作x轴的平行线,则BH=B1H,

GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值,

所以当GH和HB1在一条直线上时,GH+HB1的值最小,此时H5,6,最小值为7-3.5=3.5

3令直线BC与x轴交于点I,则I2.5,0于是IN=3.5,IN:BN=1:2,

所以沿直线BC平移时,横坐标平移m时,纵坐标则平移2m,平移后Am,1+2m,C2+m,-1+2m

则AC2=8,AK2=5m2-18m+18,CK2=5m2-22m+26,

、当AKC=90°时,AK2+KC2=AC2,解得m=,此时t=;

、当KCA=90°时,KC2+AC2=AK2,解得m=4,此时t=;

、当KAC=90°时,AC2+AK2=KC2,解得m=0,此时t=0

综上所述:t=0或t=4或t=

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