题目内容
【题目】如图1,二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO:S四边形AONB=1:48.
(1)求直线AB和直线BC的解析式;
(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD//x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F,当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H(不与点A,点B重合),使GH+BH的值最小,求点H的坐标和GH+BH的最小值;
(3)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后抛物线使点A,点C的对应点分别为点A’,点C’;当△A’C’K是直角三角形时,求t的值。
【答案】(1)=x+1;=2x-5;(2)H(5,6);7.5;(3)t=0或t=4或t=
【解析】
试题分析:(1)首先得出点C的坐标,根据△AMO和四边形AONB的面积之比得出△AMO和△BMN的面积之比,从而得出BN=7,然后求出点B的坐标,得出直线AB和直线BC的解析式;(2)设点P(x0,x0+1),则D(,x0+1),PE=x0+1,PD=3-0.5x0,根据△PDF∽△BGN得出PE·PF最大时,PE·PD也最大,然后得出PE·PD的函数解析式,根据函数的性质得出点G的坐标,根据△MNB是等腰直角三角形,过B作x轴的平行线,则BH=B1H,从而得出答案;(3)令直线BC与x轴交于点I,则I(2.5,0)于是IN=3.5,IN:BN=1:2,则沿直线BC平移时,横坐标平移m时,纵坐标则平移2m,平移后A’(m,1+2m),C’(2+m,-1+2m),然后根据当∠A’KC’=90°,当∠KC’A’=90°和当∠KA’C’=90°三种情况,分别利用勾股定理得出答案.
试题解析:(1)C(2,-1). 由S△AMO:S四边形AONB=1:48,可得由S△AMO:S△BMN=1:49,
所有BN=7,带入二次函数解析式可得B(6,7)。 所以=x+1;=2x-5.
(2)设点P(x0,x0+1),则D(,x0+1),则PE=x0+1,PD=3-0.5x0,
由于△PDF∽△BGN,所以PF:PD的值固定,于是PE·PF最大时,PE·PD也最大,
PE·PD=(x0+1)(3-0.5x0)=,所以当x0=2.5时,PE·PD最大,即PE·PF最大。
此时G(5,3.5)
可得△MNB是等腰直角三角形,过B作x轴的平行线,则BH=B1H,
GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值,
所以当GH和HB1在一条直线上时,GH+HB1的值最小,此时H(5,6),最小值为7-3.5=3.5
(3)令直线BC与x轴交于点I,则I(2.5,0)于是IN=3.5,IN:BN=1:2,
所以沿直线BC平移时,横坐标平移m时,纵坐标则平移2m,平移后A’(m,1+2m),C’(2+m,-1+2m),
则A’C’2=8,A’K2=5m2-18m+18,C’K2=5m2-22m+26,
①、当∠A’KC’=90°时,A’K2+KC’2=A’C’2,解得m=,此时t=;
②、当∠KC’A’=90°时,KC’2+A’C’2=A’K2,解得m=4,此时t=;
③、当∠KA’C’=90°时,A’C’2+A’K2=KC’2,解得m=0,此时t=0
综上所述:t=0或t=4或t=