题目内容
当今的时代是计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一个运算结果输出口B．某同学编入下列运算程序将数据输入且满足以下性质：
①从A口输入n=1时，从B口得到a1=
②当n≥2时，从A口输入整数n，在B口得到的结果是将前一结果an-1先乘以自然数中第n-1个奇数，再除以自然数中第n+1个奇数，试问：
（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2）从A口输入20时，从B口得到什么数？
（3）求：a1+a2+a3+…+a2011的值．
①从A口输入n=1时，从B口得到a1=
| 1 | 3 |
②当n≥2时，从A口输入整数n，在B口得到的结果是将前一结果an-1先乘以自然数中第n-1个奇数，再除以自然数中第n+1个奇数，试问：
（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2）从A口输入20时，从B口得到什么数？
（3）求：a1+a2+a3+…+a2011的值．
分析：（1）令n=2、3，根据题目信息列式进行计算即可得解；
（2）先根据（1）的求解，找出规律从而得到an的表达式，然后令n=20，进行计算即可得解；
（3）根据（2）中an的表达式，利用拆项法拆项，然后进行计算即可．
（2）先根据（1）的求解，找出规律从而得到an的表达式，然后令n=20，进行计算即可得解；
（3）根据（2）中an的表达式，利用拆项法拆项，然后进行计算即可．
解答：解：（1）根据题意得，a2=
=
=
，
a3=
=
=
；
（2）∵a1=
=
，a2=
=
，a3=
=
，
∴an=
，
∴a20=
=
=
；
（3）a1+a2+a3+…+a2011
=
+
+
+…+
=
（1-
+
-
+
-
+…+
-
）
=
（1-
）
=
×
=
．
| a1×1 |
| 5 |
| ||
| 5 |
| 1 |
| 15 |
a3=
| a2×3 |
| 7 |
| ||
| 7 |
| 1 |
| 35 |
（2）∵a1=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 15 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 35 |
| 1 |
| 5×7 |
∴an=
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
∴a20=
| 1 |
| (2×20-1)(2×20+1) |
| 1 |
| 39×41 |
| 1 |
| 1599 |
（3）a1+a2+a3+…+a2011
=
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| 4021×4023 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 4021 |
| 1 |
| 4023 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4023 |
=
| 1 |
| 2 |
| 4022 |
| 4023 |
=
| 2011 |
| 4023 |
点评：本题考查了分式的混合运算，根据题目信息列出表达式然后发现是分母是相邻奇数的乘积，然后利用拆项法解答是解题的关键．
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