题目内容

当今的时代是计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一个运算结果输出口B．某同学编入下列运算程序将数据输入且满足以下性质：
①从A口输入n=1时，从B口得到 $数学公式$
②当n≥2时，从A口输入整数n，在B口得到的结果是将前一结果a_n-1先乘以自然数中第n-1个奇数，再除以自然数中第n+1个奇数，试问：
（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2）从A口输入20时，从B口得到什么数？
（3）求：a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁的值．

解：（1）根据题意得，a₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
a₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）∵a₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴a_n= $\text{[math]}$ ，
∴a₂₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令n=2、3，根据题目信息列式进行计算即可得解；
（2）先根据（1）的求解，找出规律从而得到a_n的表达式，然后令n=20，进行计算即可得解；
（3）根据（2）中a_n的表达式，利用拆项法拆项，然后进行计算即可．
点评：本题考查了分式的混合运算，根据题目信息列出表达式然后发现是分母是相邻奇数的乘积，然后利用拆项法解答是解题的关键．