题目内容

【题目】已知:关于x的一元二次方程mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0(m>3).
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1 , x2(用含m的代数式表示);
①求方程的两个实数根x1 , x2(用含m的代数式表示);
②若mx1<8﹣4x2 , 直接写出m的取值范围.

【答案】
(1)证明:∵mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0(m>3)是关于x的一元二次方程,

∴△=[(﹣3(m﹣1)]2﹣4m(2m﹣3)=m2﹣6m+9=(m﹣3)2

∵m>3,

∴(m﹣3)2>0,即△>0,

∴方程总有两个不相等的实数根


(2)①由求根公式得x=

∴x=1,或x=

∵m>3,

>3,

当x1<x2

∴x1=1,x2=2﹣

当x1>x2

这种情况不存在;

∴x1=1,x2=2﹣

②∵mx1<8﹣4x2

∴m<8﹣4(2﹣ ),

解得:3<m<2


【解析】(1)由于m>3,此方程为关于x的一元二次方程,再计算出判别式△=(m﹣3)2 , 然后根据判别式的意义即可得到结论;(2)②由求根公式得到x=1,或x= ,即可得到结论;②根据mx1<8﹣4x2 , 即可得到 结果.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用求根公式和根与系数的关系的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根;一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

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