题目内容
如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；
（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由．
分析：（1）①BG=2BP，根据等边三角形的性质求出∠BGP=30°，根据直角三角形的性质即可得出答案；②BG=2BP，BD=
BC=1，则DG=2x-1，根据点G在线段CD上，所以求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，即可解题．（2）根据勾股定理求出GP，证△EDG∽△BPG得
=
，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到
=
，求出DF，根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）求出∠FPE=30°，①当∠FEP=90°时，由EF∥AB，得出
=
，代入即可求出x；②当∠PFE=90°时，
由△BPF是等边三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根据等腰三角形的性质得到DF=DG，代入即可求出x．
| 1 |
| 2 |
| ED |
| BP |
| DG |
| PG |
| BP |
| AB |
| BF |
| BC |
（3）求出∠FPE=30°，①当∠FEP=90°时，由EF∥AB，得出
| DE |
| AD |
| DF |
| BD |
由△BPF是等边三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根据等腰三角形的性质得到DF=DG，代入即可求出x．
解答：（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，
∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG与2BP的大小关系是BG=2BP．
②解：∵BG=2BP，BD=
BC=1，
∴DG=2x-1，
∵点G在线段CD上，
∴求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，
当G与D点重合时，BG=
BC=1，∴2x-1=0，即x=
，
当G与C点重合时，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范围为
≤x≤1．
（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP=
=
x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴
=
，
∴
=
，
解得：DE=
x-
，
∵PF∥AC，
∴
=
，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=
DE•DF=
•（
x-
）•（1-x）=-
x2+
x-
=-
(x-
)2+
，
s的最大值是
，
答：S与x之间的函数关系式是∴s=-
x2+
x-
，并求出S的最大值是
．
（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①当∠FEP=90°时，
∴EF∥AB，
∴
=
，
∴
=
，
解得：x=
，
②当∠PFE=90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=
，
∴BP的长是
或
，
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是
或
．
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，
∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG与2BP的大小关系是BG=2BP．
②解：∵BG=2BP，BD=
| 1 |
| 2 |
∴DG=2x-1，
∵点G在线段CD上，
∴求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，
当G与D点重合时，BG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当G与C点重合时，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范围为
| 1 |
| 2 |
（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP=
| BG2-BP2 |
| 3 |
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴
| ED |
| BP |
| DG |
| PG |
∴
| DE |
| x |
| 2x-1 | ||
|
解得：DE=
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵PF∥AC，
∴
| BP |
| AB |
| BF |
| BC |
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 6 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 48 |
s的最大值是
| ||
| 48 |
答：S与x之间的函数关系式是∴s=-
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 6 |
| ||
| 48 |
（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①当∠FEP=90°时，
∴EF∥AB，
∴
| DE |
| AD |
| DF |
| BD |
∴
| ||||||||
|
| 1-x |
| 1 |
解得：x=
| 4 |
| 5 |
②当∠PFE=90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=
| 2 |
| 3 |
∴BP的长是
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．
练习册系列答案
相关题目
如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含120°圆心角的
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A、4
| ||
B、3
| ||
C、2
| ||
D、
|
如图，在边长为20cm的等边三角形ABC纸片中，以顶点C为圆心，以此三角形的高为半径画弧分别交AC、BC于点D、E，则扇形CDE所围的圆锥（不计接缝）的底圆半径为（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、5
| ||||
D、10
|
交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．