题目内容

【题目】(本题14分)如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6, )在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.

(1)求c的值及直线AC的函数表达式;

(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.

①求证:△APM∽△AON;

②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).

【答案】(1)c=﹣3, ;(2)①答案见解析,②

【解析】试题分析:(1)把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值,令y=0可求得A点坐标,利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式;

2Rt△AOBRt△AOD中可求得OAB=∠OAD,在Rt△OPQ中可求得MP=MO,可求得MPO=∠MOP=∠AON,则可证得APM∽△AON

MMEx轴于点E,用m可表示出AEAP,进一步可表示出AM,利用APM∽△AON可表示出AN

1)把C点坐标代入抛物线解析式可得,解得c=3抛物线解析式为,令y=0可得,解得x=4x=3A40),设直线AC的函数表达式为y=kx+bk≠0),把AC坐标代入可得 ,解得 直线AC的函数表达式为

2①∵RtAOB中,tanOAB= =,在RtAOD中,tanOAD==∴∠OAB=OADRtPOQ中,MPQ的中点,OM=MP∴∠MOP=MPO,且MOP=AON∴∠APM=AON∴△APM∽△AON

如图,过点MMEx轴于点E,则OE=EPM的横坐标为mAE=m+4AP=2m+4tanOAD=cosEAM=cosOAD==AM=AE=∵△APM∽△AON,即AN=

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