题目内容

【题目】如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E

(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;

(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BDCEDE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了相同的方法进行解决:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF(如图2);请证明小敏的发现的是正确的.

【答案】见解析

【解析】试题分析:(1)如图1,根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°,所以∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC;(2)小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC,在Rt△OCE中应用勾股定理而证明;小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG,从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明.

试题解析:1)证明:如图1∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°

∵∠DAE=45°

∴∠BAD+∠EAC=45°

∵∠BAD=∠DAM

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC

∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC

2)如图2,连接EF

由折叠可知,∠BAD∠FADABAFBDDF

∵∠BAD∠FAD

由(1)可知,∠CAE=∠FAE

△AEF△AEC中,

∵ AF=AC∠FAE=∠CAEAE=AE

∴△AEF≌△AECSAS),

∴CE=FE∠AFE=∠C=45°

∴∠DFE∠AFD∠AFE90°

Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2

∴BD2+CE2=DE2. (利用旋转的方法证明相应给分)

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