题目内容

f（x）表示关于x的函数，若x₁，x₂在x的取值范围内，且x₁≤x₂，均有对应的函数值f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在x取值范围内是非减函数．已知函数f（x）当0≤x≤1时为非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0，② $数学公式$ ，③f（1-x）=1-f（x）；则 $数学公式$ 的值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
1

C
分析：令x=1求出f（ $\text{[math]}$ ）的值，再令x= $\text{[math]}$ 分别代入②③求出f（ $\text{[math]}$ ）、f（ $\text{[math]}$ ）的值，从而得解．
解答：令x=1，则f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（1），
f（1-0）=1-f（0）=1，
所以，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ，
当x= $\text{[math]}$ 时，f（1- $\text{[math]}$ ）=1-f（ $\text{[math]}$ ），
所以，当f（ $\text{[math]}$ ）=1-f（ $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以，f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ），
即函数关于x= $\text{[math]}$ 对称，
令x= $\text{[math]}$ ，则f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ），
当x= $\text{[math]}$ 时，f（1- $\text{[math]}$ ）=1-f（ $\text{[math]}$ ），
即f（ $\text{[math]}$ ）=1-f（ $\text{[math]}$ ），
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查了函数值求解，难度较大，关键在于求出关于x= $\text{[math]}$ 对称．