题目内容
已知一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0．（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a＜0，当二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点的距离为
时，求出此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．
（1）因为△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
所以不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的两个根，则x1＋x2＝－a，x1•x2＝a－2，因两交点的距离是
，
所以|x1－x2|＝
＝．即：(x1－x2)2＝13
变形为：(x1＋x2)2－4x1•x2＝13所以：(－a)2－4(a－2)＝13
整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1
又因为：a＜0，所以：a＝－1
所以：此二次函数的解析式为y＝x2－x－3．
（3）设点P的坐标为(x0，y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
所以：AB＝所以：S△PAB＝
AB•|y0|＝
所以：
＝
即：|y0|＝3，则y0＝±3
当y0＝3时，x02－x0－3＝3，即(x0－3)(x0＋2)＝0
解此方程得：x0＝－2或3
当y0＝－2时，x02－x0－3＝－3，即x0(x0－1)＝0
解此方程得：x0＝0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．解析:
（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了，（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．(3)是二次函数综合应用问题和三角形的综合应用
所以不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的两个根，则x1＋x2＝－a，x1•x2＝a－2，因两交点的距离是
，所以|x1－x2|＝
＝．即：(x1－x2)2＝13变形为：(x1＋x2)2－4x1•x2＝13所以：(－a)2－4(a－2)＝13
整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1
又因为：a＜0，所以：a＝－1
所以：此二次函数的解析式为y＝x2－x－3．
（3）设点P的坐标为(x0，y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于
，所以：AB＝
所以：S△PAB＝AB•|y0|＝所以：
＝即：|y0|＝3，则y0＝±3
当y0＝3时，x02－x0－3＝3，即(x0－3)(x0＋2)＝0
解此方程得：x0＝－2或3
当y0＝－2时，x02－x0－3＝－3，即x0(x0－1)＝0
解此方程得：x0＝0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．解析:
（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了，（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．(3)是二次函数综合应用问题和三角形的综合应用
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